在区块链技术的发展历程中，一个有趣的发现值得玩味。2019年Curve V1在构建AMM公式时，其推导过程中出现了一个中间形态的公式。令人惊讶的是，这个公式与一年多后Uniswap V3的基础公式在结构上惊人地相似——前者实际上是后者的一种特殊形式。两条完全不同的思考路径，却在数学上产生了奇妙的交汇点。本文将深入探讨Curve V1和Uniswap V3的构建思路，揭示它们在数学构造过程中的这次意外相遇，以及最终如何走向不同的发展方向。
Curve V1的公式构建历程
2018年底Uniswap推出的xy=k公式堪称一次范式革命，但在稳定币交易场景下却暴露出明显缺陷。Michael敏锐地抓住了这个市场空白，于2019年底推出了全新的AMM方案Curve V1。这个新AMM公式的构建基础之一仍然是xy=k，但在白皮书中使用了不同的参数表示方式。
考虑到稳定币交易对的价格通常只在1:1附近小幅波动，Michael认为在单一价格点提供流动性的x+y=D公式可以作为另一个构建基础。他的创新之处在于将这两个基础公式有机融合，在xy=(D/2)²的基础上引入了x+y=D的特性。
通过巧妙的”杂交”过程，Michael得到了一个融合公式。其中x+y=D的部分引入了A参数，并在等式两侧都乘以D以实现参数的无量纲化。虽然白皮书中使用的是希腊字母Chi，但为了便于理解，我们可以用A来代替。
A参数的作用类似于调节灰度的滑块，90%的灰度接近黑色，而10%的灰度则更接近白色。它决定了最终公式更偏向x+y=D还是xy=(D/2)²。极端情况下，当A=0时，公式退化为xy=(D/2)²；当A趋近于无穷大时，公式则变为x+y=D。这种渐变特性可以通过图形直观展示。
Uniswap V3的创新之路
Uniswap V1/V2凭借xy=k公式在市场上占据主导地位，但随着”流动性均匀分布在完整价格区间”的缺陷日益显现，特别是Curve V1在稳定币交易市场的成功，促使Uniswap团队在V3版本中寻求突破。
他们的设计起点仍然是xy=k，但目标是构建一个仅在有限价格区间内提供流动性的公式。这种设计的效果是：在[Pa,Pb]价格区间内，公式表现与Uni V1/V2完全一致，但超出该区间则停止提供流动性。
从图形上看，这相当于将xy=k曲线向左下方平移了一定距离，平移量由Pa和Pb决定。这个平移公式成为Uni V3进一步构建的基础，实现了流动性在特定价格区间内的集中配置。
数学上的奇妙交汇
将Curve V1的融合公式进行适当变换后，与Uni V3的平移公式对比，会发现两者惊人的相似。如果进一步限定Uni V3公式中的Pb=1/Pa，即在1:1价格点两侧保持倍数对称，两个公式就完全一致了。
通过参数转换可以建立两组参数之间的关系。以Curve V1的A和D为基础，可以推导出Uni V3的L和Pa。这种数学上的等价性揭示了两个看似不同的设计思路在特定条件下的内在联系。
分道扬镳的发展路径
虽然两个公式在数学形式上存在交集，但Curve V1和Uniswap V3随后沿着完全不同的方向发展。
Curve V1发现融合公式存在流动性局限的问题后，Michael创新性地将固定A参数改为动态变化的Axy/(D/2)²。这种动态渐变的设计使得当价格偏离1:1时，公式自动调整偏向程度，最终实现了全价格区间的流动性覆盖。
Uniswap V3则选择了另一条创新路径。他们没有追求大一统的单一公式，而是允许不同价格区间的流动性自由组合。这种设计将决策权完全交给LP，让市场博弈决定流动性分布，极大地提升了资金使用效率。
历史背景下的思考
从发展历程来看，Curve V1在2019年推出时主要针对稳定币交易市场，这决定了Michael的设计思路聚焦于1:1价格点对称结构。而Uniswap V3在2021年推出时，团队已经充分观察了Curve V1的运行情况，他们的创新突破了LP”大锅饭”模式，通过赋予LP自由选择权，不仅在稳定币交易场景提升了资金效率，更为整个市场引入了更充分的竞争机制。
当我们深入了解这两个项目的历史背景和设计初衷后，最初发现的数学相似性似乎只是一个有趣的巧合。真正值得关注的是，它们分别代表了AMM发展历程中两种截然不同但同样重要的创新方向。
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